СИСТЕМНЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ: ИНФОРМАЦИЯ И ОТРАЖЕНИЕ
Вяткин В.Б. Информационные функции и энтропия Больцмана (Редакция
статьи: Вяткин В.Б. Синергетическая теория информации
В статье показывается, что информационно-синергетические функции, в лице отражаемой информации, аддитивной негэнтропии и энтропии отражения, имеют непосредственную взаимосвязь с энтропией Больцмана.
Введение Ранее [1] было
установлено, что информация
При этом:
где:
Выражение (1) занимает в синергетической теории информации ключевое положение и, в зависимости от того, с каких позиций рассматривается, имеет несколько качественно различных интерпретаций. – Так, в отношении собственно отражения системы, как единого целого, выражение (1) интерпретируется как информационный закон отражения. Если рассматривается структура системы со стороны ее упорядоченности и хаотичности, то соотношение (1) выражает закон сохранения суммы хаоса и порядка. С позиций соотношения и взаимных переходов друг в друга различных видов информации (связанной с управлением и существующей независимо от него), данное выражение представляет собой закон сохранения информации на межвидовом информационном уровне. И, наконец, с позиций различных подходов к определению понятия «количество информации», выражение (1) показывает неразрывную взаимосвязь комбинаторного, вероятностного и синергетического подходов. В настоящей статье показывается, что дополнительно к указанным интерпретациям, информационное соотношение (1), с термодинамических позиций, характеризует переход изолированной системы идеальных газов из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия, а каждая из информационно-синергетических функций (2) – (4) при определенных условиях имеет непосредственную взаимосвязь с энтропией Больцмана.
Взаимосвязь
информационно-синергетических функций
Макроскопическое состояние той или иной термодинамической системы, состоящей из конечного множества элементов (атомов, молекул), традиционно характеризуется с помощью энтропии Больцмана (Е), статистически выражающей второе начало термодинамики и имеющей вид:
где:
При этом напомним, что термодинамическая вероятность W является однозначной функцией макросостояния системы, достигает своего максимального значения, когда система приходит в состояние термодинамического равновесия и обладает свойством мультипликативности. То есть вероятность W системы, состоящей из N невзаимодействующих между собой частей, равна произведению вероятностей этих частей:
Выражения (5) и (6) показывают, что энтропия Больцмана является аддитивной величиной или, иначе говоря, общая энтропия E системы равна сумме энтропий ее изолированных друг от друга частей:
Рассмотрим теперь с помощью энтропии Больцмана переход некоторой системы разнородных идеальных газов из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия. Возьмем
какую-либо емкость объемом
V
и разделим ее непроницаемыми перегородками произвольным образом на
N
частей с объемами
Рисунок 1. Переход системы идеальных газов из структурно-упорядоченного состояния (а) в состояние термодинамического равновесия (б)
Это состояние системы в
наших рассуждениях наблюдается в момент времени
и, соответственно:
После убирания перегородок
каждый из газов, вследствие теплового движения молекул,
перемешивается с другими газами и в момент времени
Термодинамическая
вероятность
W
при этом, на протяжении времени
Величина, на которую
возрастает энтропия Больцмана при переходе системы из
структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического
равновесия, называется энтропией смешения газов
То есть, чем более
упорядочена структура системы в момент времени
Из выражений (8) – (10) следует, что общая схема самопроизвольного процесса перехода изолированной системы идеальных газов из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия, может быть выражена через уравнение баланса энтропии Больцмана:
Освободимся в формулах (8) – (10) от факториалов, для чего воспользуемся формулой Стирлинга
и, пренебрегая
единицей при
Основанием для такого
огрубления служит тот факт, что относительная погрешность замены
формулы (12) на (13), в соответствии с числом Лошмидта
Делая соответствующие замены факториалов в формулах (8) – (10), получаем:
Умножим и разделим правую
часть выражения (14) на
При этом отметим,
что произведение Проводя теперь сравнение
информационно-синергетических функций (2) – (4) с выражениями (17) –
(19), не трудно видеть, что крайние правые сомножители последних
равны аддитивной негэнтропии
Из выражений (20) –
(22) следует, что каждая из информационно-синергетических функций
Подставляя значения информационно-синергетических функций из выражений (23) – (25) в информационное соотношение (1), получаем для последнего его асимптотический термодинамический эквивалент:
То есть, информационное соотношение (1), дополнительно к отмеченным во введении интерпретациям, в термодинамическом отношении характеризует процесс перехода системы идеальных газов из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия. Данный факт позволяет говорить о том, что синергетическая теория информации имеет непосредственную взаимосвязь со статистической термодинамикой и, по-видимому, может быть включена в арсенал ее средств познания.
Информационная энтропия и энтропия
Больцмана:
В работе [1] было
показано, что синергетическая и традиционная теории информации
непосредственно взаимосвязаны друг с другом и в своей совокупности
образуют единую количественную теорию информации. Поэтому, установив
взаимосвязь синергетической теории информации со статистической
термодинамикой в лице выражений (23) – (26), целесообразно также
осветить существующие взгляды на взаимоотношения энтропии Больцмана
с информационно-энтропийными мерами Хартли [2] и Шеннона [3],
которые при использовании двоичных логарифмов, математически
тождественны отражаемой информации
Приверженцы этой взаимосвязи [4,5] считают, что энтропия Больцмана и информационная энтропия эквивалентны друг другу. При этом в качестве аргумента приводится тот факт, что в формулах Хартли и Шеннона, формально похожих на формулу Больцмана, присутствует коэффициент пропорциональности K, зависящий от выбора единиц измерения информации. Поэтому, беря в качестве K постоянную Больцмана k, можно осуществлять переход от информационной энтропии к энтропии термодинамической. Более того, например, по мнению Бриллюэна [4], при рассмотрении физических систем информацию и термодинамическую энтропию лучше выражать одними и теми же единицами. Противники наличия такой взаимосвязи между энтропией Больцмана и информационно-энтропийными функциями [6,7], в свою очередь, утверждают, что это разные величины и задают вопрос: «Разве достаточно формального сходства двух выражений, чтобы одну величину измерять в единицах другой и на этом основании устанавливать между ними непосредственную взаимосвязь?» [6, с.72 ]. И, указывают на то, что «в литературе вначале отмечалось отличие этих двух величин, обозначаемых одним словом, но позже многие авторы последовали за Бриллюэном, отождествившим термодинамическую и информационную энтропии» [7, с. 50]. Кроме этих полярных точек зрения, существует и ряд промежуточных, более осторожных мнений. Так, например Эшби, один из основоположников кибернетики, не отрицая определенной связи между энтропией Шеннона и термодинамической энтропией, указывает, что «выводы в этих вопросах требуют большой осторожности, ибо самое незначительное изменение условий или допущений может превратить высказывание из строго истинного в абсурдно ложное» [8, с. 254]. Интересным представляется также мнение Шамбадаля, который в своей работе сначала, вслед за Бриллюэном, берет в качестве коэффициента пропорциональности K постоянную Больцмана k, а затем говорит о том, что «тождественность величин I и S (информации и энтропии Больцмана – прим. В.В.) происходит не столько от самой природы вещей, сколько от нашего произвола» [9, с. 191]. Принимая участие в этой
заочной дискуссии, с позиций полученных в предыдущем разделе
результатов, можно сказать следующее. Так как
информационно-энтропийные меры Хартли и Шеннона выражаются такими же
формулами, что и отражаемая информация
Заключение В статье, на основе рассмотрения процесса перехода изолированной системы разнородных идеальных газов, из структурно-упорядоченного состояния в состояние термодинамического равновесия, установлено, что информационно-синергетические функции в лице отражаемой информации, аддитивной негэнтропии и энтропии отражения, имеют непосредственную взаимосвязь с термодинамической энтропией Больцмана. При этом показано, что совокупность данных функций в виде соответствующего соотношения, представляет собой асимптотический эквивалент уравнения баланса энтропии Больцмана. Это свидетельствует о взаимосвязи синергетической теории информации со статистической термодинамикой и, по всей видимости, позволяет говорить о том, что синергетическая теория информации по своей сущности является физической теорией.
Литература 1. Вяткин В.Б. Синергетическая теория информации. Часть 2. Отражение дискретных систем в плоскости признаков их описания // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГАУ, 2009. – №45(1). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2009/01/pdf/12.pdf
2.
Хартли Р.В.Л. Передача информации. // Сб.: Теория информации
и ее приложения. – М.: Физматгиз, 1959. – 3. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. – М.: Изд. иностр. лит., 1963. – 830с. 4. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. – М.: Мир, 1966. – 272 с. 5. Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. – М.: Наука, 1986. – 192с.
6.
Оксак А.И. Гносеологический анализ соотношения энтропии и
информации // Философские науки. – 7. Базаров И.П. Заблуждения и ошибки в термодинамике. – М.: МГУ, 1993. – 56с. 8. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. – М.: Изд. иностр. лит., 1959. – 432с. 9. Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтропии. – М.: Наука, 1967. – 280с. |